Colles
Programme S13
05/01/20 18:05
L'idée principale de la S13 et S14 est : pas de question de cours, orthogonalité et endomorphismes particuliers d'un espace euclidien. Profitez de ce programme pour réviser toute l'algèbre linéaire (j'avais pas dit que les révisions commençaient dès la Toussaint ?) : c'est la dernière quinzaine d'algèbre linéaire...
Programme S12
15/12/19 14:48
Au programme Orthogonalité et endomorphismes particuliers d'un espace euclidien.
- Produit scalaire. Exemples usuels. Identités remarquables.
- Orthogonalité, orthogonal, supplémentaire orthogonal.
- Bases orthonormées.
- Isométries, matrices orthogonales, groupe orthogonal.
- Endomorphismes symétriques. Réduction de ceux-ci.
- identités de polarisation et du parallélogramme ;
- l'orthogonal d'une partie est un espace vectoriel ;
- une somme de sev orthogonaux 2 à 2 est directe ;
- propriétés du projecteur orthogonal.
- spectre d'un endomorphisme orthogonal ; déterminant de celui-ci ;
- stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme orthogonal.
Programme S10
30/11/19 11:18
Compléments de 2e année sur les séries :
- règle de d'Alembert ;
- produit de Cauchy ;
- Séries alternées.
- rayon de convergence
- régularité de la somme d'une série entière sur le disque/intervalle de convergence.
- fonctions développables en série entières.
- développable en série entière ssi le reste de Taylor tend vers 0
- florilège de fonctions développables en série entière : exp(z), 1/(1-z) (et ses "dérivées") sur C, sin, cos, sh, ch, ln(1+x), arctan, (1+x)^a, (1+x)^{-1/2} (formule avec les coefficients explicites), arcsin
- lemme d'Abel ;
- si la suite (a_nz^n) est bornée alors $R≥|z|, si la série ∑a_nz^n diverge alors R≤|z| ;
- si a_n=O(b_n) alors R_a≥R_b. Cas |a_n|~|b_n| ;
- si les sommes de deux séries entières sont égales sur un intervalle ouvert contenant 0 alors leurs coefficients sont égaux.
- DSE de ln(1+x)
Programme S8
17/11/19 10:45
Intégrales dépendant d'un paramètre.
- Convergence dominée
- Intégrale d'une somme de série de fonctions intégrables
- Continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre
- Limite d'une intégrale dépendant d'un paramètre (en utilisant la définition séquentielle de limite)
- Dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre ; classe C^p
Programme S7
09/11/19 09:44
Intégrales dépendant d'un paramètre.
- Convergence dominée
- Intégrale d'une somme de série de fonctions intégrables
- Continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre
- Limite d'une intégrale dépendant d'un paramètre
- Dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre
Programme S5
12/10/19 08:46
En un mot : réduction.
Questions de cours :
Questions de cours :
- une somme de sous-espaces propres est directe ;
- si P(u)=0 et a valeur propre de u alors P(a)=0 ;
- si F stable par u et v est l'endomorphisme de F induit par u alors chi_v divise chi_u ;
- si u admet une unique valeur propre a alors u diagonalisable ssi u=a Id ;
- si u un endomorphisme diagonalisable et F un sous-espacae stable par u alors l'endomorphisme de F induit par u est lui aussi diagonalisable.
Programme S4
05/10/19 17:18
Révisions d'algèbre et de probabilités. Une question de cours sur l'un et un exercice sur l'autre.
Questions de cours
Algèbre :
Questions de cours
Algèbre :
- rg(uov)≤min(rg(u),rg(v)) ;
- si u et v commutent alors le noyau et l'image de v sont stables par u ;
- tr(AB)=tr(BA).
- Continuité monotone ;
- sous-additivité de la mesure de probabilités ;
- Probabilités totales (et décomposition selon un système complet).