Programme S13

05/01/20 18:05 Filed in: Colles
L'idée principale de la S13 et S14 est : pas de question de cours, orthogonalité et endomorphismes particuliers d'un espace euclidien. Profitez de ce programme pour réviser toute l'algèbre linéaire (j'avais pas dit que les révisions commençaient dès la Toussaint ?) : c'est la dernière quinzaine d'algèbre linéaire...

Programme S12

15/12/19 14:48 Filed in: Colles
Au programme Orthogonalité et endomorphismes particuliers d'un espace euclidien.
  • Produit scalaire. Exemples usuels. Identités remarquables.
  • Orthogonalité, orthogonal, supplémentaire orthogonal.
  • Bases orthonormées.
  • Isométries, matrices orthogonales, groupe orthogonal.
  • Endomorphismes symétriques. Réduction de ceux-ci.
Questions de cours :
  • identités de polarisation et du parallélogramme ;
  • l'orthogonal d'une partie est un espace vectoriel ;
  • une somme de sev orthogonaux 2 à 2 est directe ;
  • propriétés du projecteur orthogonal.
  • spectre d'un endomorphisme orthogonal ; déterminant de celui-ci ;
  • stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme orthogonal.

Programme S10

30/11/19 11:18 Filed in: Colles
Compléments de 2e année sur les séries :
  • règle de d'Alembert ;
  • produit de Cauchy ;
  • Séries alternées.
Séries entières :
  • rayon de convergence
  • régularité de la somme d'une série entière sur le disque/intervalle de convergence.
  • fonctions développables en série entières.
  • développable en série entière ssi le reste de Taylor tend vers 0
  • florilège de fonctions développables en série entière : exp(z), 1/(1-z) (et ses "dérivées") sur C, sin, cos, sh, ch, ln(1+x), arctan, (1+x)^a, (1+x)^{-1/2} (formule avec les coefficients explicites), arcsin
Question de cours :
  • lemme d'Abel ;
  • si la suite (a_nz^n) est bornée alors $R≥|z|, si la série ∑a_nz^n diverge alors R≤|z| ;
  • si a_n=O(b_n) alors R_a≥R_b. Cas |a_n|~|b_n| ;
  • si les sommes de deux séries entières sont égales sur un intervalle ouvert contenant 0 alors leurs coefficients sont égaux.
  • DSE de ln(1+x)

Programme S9

23/11/19 16:24
Compléments de 2e année sur les séries :
  • règle de d'Alembert ;
  • produit de Cauchy ;
  • Séries alternées.
Séries entières :
  • rayon de convergence
  • régularité de la somme d'une série entière sur le disque/intervalle de convergence.
Question de cours :
  • lemme d'Abel ;
  • si la suite (a_nz^n) est bornée alors $R≥|z|, si la série ∑a_nz^n diverge alors R≤|z| ;
  • si a_n=O(b_n) alors R_a≥R_b. Cas |a_n|~|b_n| ;
  • si les sommes de deux séries entières sont égales sur un intervalle ouvert contenant 0 alors leurs coefficients sont égaux.

Programme S8

17/11/19 10:45 Filed in: Colles
Intégrales dépendant d'un paramètre.
  • Convergence dominée
  • Intégrale d'une somme de série de fonctions intégrables
  • Continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre
  • Limite d'une intégrale dépendant d'un paramètre (en utilisant la définition séquentielle de limite)
  • Dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre ; classe C^p

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